Maths - 5D Multivector transforms

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Vectors

Applying a multivector to a point

To calculate the rotated point from the original position of the point.

P2=m * P1 * m^-1

P1 = original position of point
P2 = resulting position of point after transform
m= multivector
m^-1 = inverse of m

In some sources I have seen this transform shown as:
A(b) =Ab(A^#)-1

where:

a^# = Main involution sumi(-1)ⁱa_<i>

Such transformations satisfy A(b) |A(c) = b |c and are known as Lorentz transforms, or as isometries of inner product- |
If A is even then A(b) = AbA-1 and we have A(bc)) = A(b)A(c) .
If A is a k-versor then A# = (-1)kA so that A(bc) = (-1)kA(b)A(c).

since we cant always invert a we will use a† instead of a ^-1 which gives:

Pout=a * Pin * a†

expanding out the terms gives:

out.e=a.e*(in.e*a.e+in.e1*a.e1+in.e2*a.e2+in.e3*a.e3+in.e4*a.e4+in.e5*a.e5+in.e12*a.e12+in.e13*a.e13+in.e14*a.e14+in.e15*a.e15+in.e23*a.e23+in.e24*a.e24+in.e25*a.e25+in.e34*a.e34+in.e35*a.e35+in.e45*a.e45+in.e123*a.e123+in.e214*a.e214+in.e125*a.e125+in.e134*a.e134+in.e315*a.e315+in.e145*a.e145+in.e324*a.e324+in.e235*a.e235+in.e425*a.e425+in.e345*a.e345+in.e1234*a.e1234+in.e1253*a.e1253+in.e1245*a.e1245+in.e3145*a.e3145+in.e2345*a.e2345+in.e12345*a.e12345)+a.e1*(in.e*a.e1+in.e1*a.e+in.e2*a.e12+in.e3*a.e13+in.e4*a.e14+in.e5*a.e15+in.e12*a.e2+in.e13*a.e3+in.e14*a.e4+in.e15*a.e5+in.e23*a.e123-in.e24*a.e214+in.e25*a.e125+in.e34*a.e134-in.e35*a.e315+in.e45*a.e145+in.e123*a.e23-in.e214*a.e24+in.e125*a.e25+in.e134*a.e34-in.e315*a.e35+in.e145*a.e45-in.e324*a.e1234-in.e235*a.e1253-in.e425*a.e1245-in.e345*a.e3145-in.e1234*a.e324-in.e1253*a.e235-in.e1245*a.e425-in.e3145*a.e345+in.e2345*a.e12345+in.e12345*a.e2345)+a.e2*(in.e*a.e2-in.e1*a.e12+in.e2*a.e+in.e3*a.e23+in.e4*a.e24+in.e5*a.e25-in.e12*a.e1-in.e13*a.e123+in.e14*a.e214-in.e15*a.e125+in.e23*a.e3+in.e24*a.e4+in.e25*a.e5-in.e34*a.e324+in.e35*a.e235-in.e45*a.e425-in.e123*a.e13+in.e214*a.e14-in.e125*a.e15-in.e134*a.e1234-in.e315*a.e1253-in.e145*a.e1245-in.e324*a.e34+in.e235*a.e35-in.e425*a.e45+in.e345*a.e2345-in.e1234*a.e134-in.e1253*a.e315-in.e1245*a.e145+in.e3145*a.e12345+in.e2345*a.e345+in.e12345*a.e3145)+a.e3*(in.e*a.e3-in.e1*a.e13-in.e2*a.e23+in.e3*a.e+in.e4*a.e34+in.e5*a.e35+in.e12*a.e123-in.e13*a.e1-in.e14*a.e134+in.e15*a.e315-in.e23*a.e2+in.e24*a.e324-in.e25*a.e235+in.e34*a.e4+in.e35*a.e5+in.e45*a.e345+in.e123*a.e12-in.e214*a.e1234-in.e125*a.e1253-in.e134*a.e14+in.e315*a.e15+in.e145*a.e3145+in.e324*a.e24-in.e235*a.e25+in.e425*a.e2345+in.e345*a.e45-in.e1234*a.e214-in.e1253*a.e125+in.e1245*a.e12345+in.e3145*a.e145+in.e2345*a.e425+in.e12345*a.e1245)+a.e4*(in.e*a.e4-in.e1*a.e14-in.e2*a.e24-in.e3*a.e34+in.e4*a.e+in.e5*a.e45-in.e12*a.e214+in.e13*a.e134-in.e14*a.e1-in.e15*a.e145-in.e23*a.e324-in.e24*a.e2+in.e25*a.e425-in.e34*a.e3-in.e35*a.e345+in.e45*a.e5-in.e123*a.e1234-in.e214*a.e12+in.e125*a.e1245+in.e134*a.e13+in.e315*a.e3145-in.e145*a.e15-in.e324*a.e23+in.e235*a.e2345+in.e425*a.e25-in.e345*a.e35-in.e1234*a.e123+in.e1253*a.e12345+in.e1245*a.e125+in.e3145*a.e315+in.e2345*a.e235+in.e12345*a.e1253)+a.e5*(in.e*a.e5-in.e1*a.e15-in.e2*a.e25-in.e3*a.e35-in.e4*a.e45+in.e5*a.e+in.e12*a.e125-in.e13*a.e315+in.e14*a.e145-in.e15*a.e1+in.e23*a.e235-in.e24*a.e425-in.e25*a.e2+in.e34*a.e345-in.e35*a.e3-in.e45*a.e4+in.e123*a.e1253+in.e214*a.e1245+in.e125*a.e12+in.e134*a.e3145-in.e315*a.e13+in.e145*a.e14+in.e324*a.e2345+in.e235*a.e23-in.e425*a.e24+in.e345*a.e34+in.e1234*a.e12345+in.e1253*a.e123+in.e1245*a.e214+in.e3145*a.e134+in.e2345*a.e324+in.e12345*a.e1234)-a.e12*(-in.e*a.e12+in.e1*a.e2-in.e2*a.e1-in.e3*a.e123+in.e4*a.e214-in.e5*a.e125+in.e12*a.e+in.e13*a.e23+in.e14*a.e24+in.e15*a.e25-in.e23*a.e13-in.e24*a.e14-in.e25*a.e15-in.e34*a.e1234+in.e35*a.e1253-in.e45*a.e1245+in.e123*a.e3-in.e214*a.e4+in.e125*a.e5-in.e134*a.e324-in.e315*a.e235-in.e145*a.e425+in.e324*a.e134+in.e235*a.e315+in.e425*a.e145-in.e345*a.e12345+in.e1234*a.e34-in.e1253*a.e35+in.e1245*a.e45-in.e3145*a.e2345+in.e2345*a.e3145+in.e12345*a.e345)-a.e13*(-in.e*a.e13+in.e1*a.e3+in.e2*a.e123-in.e3*a.e1-in.e4*a.e134+in.e5*a.e315-in.e12*a.e23+in.e13*a.e+in.e14*a.e34+in.e15*a.e35+in.e23*a.e12+in.e24*a.e1234-in.e25*a.e1253-in.e34*a.e14-in.e35*a.e15+in.e45*a.e3145-in.e123*a.e2-in.e214*a.e324-in.e125*a.e235+in.e134*a.e4-in.e315*a.e5+in.e145*a.e345+in.e324*a.e214+in.e235*a.e125-in.e425*a.e12345-in.e345*a.e145-in.e1234*a.e24+in.e1253*a.e25-in.e1245*a.e2345-in.e3145*a.e45+in.e2345*a.e1245+in.e12345*a.e425)-a.e14*(-in.e*a.e14+in.e1*a.e4-in.e2*a.e214+in.e3*a.e134-in.e4*a.e1-in.e5*a.e145-in.e12*a.e24-in.e13*a.e34+in.e14*a.e+in.e15*a.e45-in.e23*a.e1234+in.e24*a.e12+in.e25*a.e1245+in.e34*a.e13-in.e35*a.e3145-in.e45*a.e15-in.e123*a.e324+in.e214*a.e2+in.e125*a.e425-in.e134*a.e3+in.e315*a.e345+in.e145*a.e5+in.e324*a.e123-in.e235*a.e12345-in.e425*a.e125-in.e345*a.e315+in.e1234*a.e23-in.e1253*a.e2345-in.e1245*a.e25+in.e3145*a.e35+in.e2345*a.e1253+in.e12345*a.e235)-a.e15*(-in.e*a.e15+in.e1*a.e5+in.e2*a.e125-in.e3*a.e315+in.e4*a.e145-in.e5*a.e1-in.e12*a.e25-in.e13*a.e35-in.e14*a.e45+in.e15*a.e+in.e23*a.e1253-in.e24*a.e1245+in.e25*a.e12+in.e34*a.e3145+in.e35*a.e13+in.e45*a.e14+in.e123*a.e235+in.e214*a.e425-in.e125*a.e2+in.e134*a.e345+in.e315*a.e3-in.e145*a.e4-in.e324*a.e12345-in.e235*a.e123-in.e425*a.e214-in.e345*a.e134-in.e1234*a.e2345-in.e1253*a.e23+in.e1245*a.e24-in.e3145*a.e34+in.e2345*a.e1234+in.e12345*a.e324)-a.e23*(-in.e*a.e23-in.e1*a.e123+in.e2*a.e3-in.e3*a.e2+in.e4*a.e324-in.e5*a.e235+in.e12*a.e13-in.e13*a.e12-in.e14*a.e1234+in.e15*a.e1253+in.e23*a.e+in.e24*a.e34+in.e25*a.e35-in.e34*a.e24-in.e35*a.e25-in.e45*a.e2345+in.e123*a.e1-in.e214*a.e134-in.e125*a.e315+in.e134*a.e214+in.e315*a.e125-in.e145*a.e12345-in.e324*a.e4+in.e235*a.e5-in.e425*a.e345+in.e345*a.e425+in.e1234*a.e14-in.e1253*a.e15-in.e1245*a.e3145+in.e3145*a.e1245+in.e2345*a.e4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out.e14=a.e*(-in.e*a.e14+in.e1*a.e4-in.e2*a.e214+in.e3*a.e134-in.e4*a.e1-in.e5*a.e145-in.e12*a.e24-in.e13*a.e34+in.e14*a.e+in.e15*a.e45-in.e23*a.e1234+in.e24*a.e12+in.e25*a.e1245+in.e34*a.e13-in.e35*a.e3145-in.e45*a.e15-in.e123*a.e324+in.e214*a.e2+in.e125*a.e425-in.e134*a.e3+in.e315*a.e345+in.e145*a.e5+in.e324*a.e123-in.e235*a.e12345-in.e425*a.e125-in.e345*a.e315+in.e1234*a.e23-in.e1253*a.e2345-in.e1245*a.e25+in.e3145*a.e35+in.e2345*a.e1253+in.e12345*a.e235)+a.e1*(in.e*a.e4-in.e1*a.e14-in.e2*a.e24-in.e3*a.e34+in.e4*a.e+in.e5*a.e45-in.e12*a.e214+in.e13*a.e134-in.e14*a.e1-in.e15*a.e145-in.e23*a.e324-in.e24*a.e2+in.e25*a.e425-in.e34*a.e3-in.e35*a.e345+in.e45*a.e5-in.e123*a.e1234-in.e214*a.e12+in.e125*a.e1245+in.e134*a.e13+in.e315*a.e3145-in.e145*a.e15-in.e324*a.e23+in.e235*a.e2345+in.e425*a.e25-in.e345*a.e35-in.e1234*a.e123+in.e1253*a.e12345+in.e1245*a.e125+in.e3145*a.e315+in.e2345*a.e235+in.e12345*a.e1253)+a.e2*(-in.e*a.e214+in.e1*a.e24-in.e2*a.e14-in.e3*a.e1234+in.e4*a.e12+in.e5*a.e1245-in.e12*a.e4+in.e13*a.e324+in.e14*a.e2-in.e15*a.e425+in.e23*a.e134-in.e24*a.e1-in.e25*a.e145-in.e34*a.e123-in.e35*a.e12345+in.e45*a.e125+in.e123*a.e34+in.e214*a.e-in.e125*a.e45-in.e134*a.e23+in.e315*a.e2345+in.e145*a.e25-in.e324*a.e13-in.e235*a.e3145+in.e425*a.e15+in.e345*a.e1253+in.e1234*a.e3-in.e1253*a.e345-in.e1245*a.e5+in.e3145*a.e235-in.e2345*a.e315+in.e12345*a.e35)-a.e3*(-in.e*a.e134-in.e1*a.e34-in.e2*a.e1234+in.e3*a.e14-in.e4*a.e13+in.e5*a.e3145+in.e12*a.e324+in.e13*a.e4-in.e14*a.e3-in.e15*a.e345-in.e23*a.e214-in.e24*a.e123-in.e25*a.e12345+in.e34*a.e1+in.e35*a.e145+in.e45*a.e315+in.e123*a.e24+in.e214*a.e23-in.e125*a.e2345+in.e134*a.e-in.e315*a.e45-in.e145*a.e35-in.e324*a.e12+in.e235*a.e1245-in.e425*a.e1253+in.e345*a.e15+in.e1234*a.e2+in.e1253*a.e425-in.e1245*a.e235-in.e3145*a.e5+in.e2345*a.e125+in.e12345*a.e25)-a.e4*(in.e*a.e1+in.e1*a.e+in.e2*a.e12+in.e3*a.e13+in.e4*a.e14+in.e5*a.e15+in.e12*a.e2+in.e13*a.e3+in.e14*a.e4+in.e15*a.e5+in.e23*a.e123-in.e24*a.e214+in.e25*a.e125+in.e34*a.e134-in.e35*a.e315+in.e45*a.e145+in.e123*a.e23-in.e214*a.e24+in.e125*a.e25+in.e134*a.e34-in.e315*a.e35+in.e145*a.e45-in.e324*a.e1234-in.e235*a.e1253-in.e425*a.e1245-in.e345*a.e3145-in.e1234*a.e324-in.e1253*a.e235-in.e1245*a.e425-in.e3145*a.e345+in.e2345*a.e12345+in.e12345*a.e2345)+a.e5*(-in.e*a.e145-in.e1*a.e45-in.e2*a.e1245+in.e3*a.e3145+in.e4*a.e15-in.e5*a.e14+in.e12*a.e425-in.e13*a.e345+in.e14*a.e5-in.e15*a.e4-in.e23*a.e12345+in.e24*a.e125+in.e25*a.e214-in.e34*a.e315-in.e35*a.e134+in.e45*a.e1-in.e123*a.e2345-in.e214*a.e25-in.e125*a.e24+in.e134*a.e35+in.e315*a.e34+in.e145*a.e+in.e324*a.e1253-in.e235*a.e1234-in.e425*a.e12+in.e345*a.e13+in.e1234*a.e235-in.e1253*a.e324+in.e1245*a.e2-in.e3145*a.e3+in.e2345*a.e123+in.e12345*a.e23)+a.e12*(-in.e*a.e24+in.e1*a.e214+in.e2*a.e4-in.e3*a.e324-in.e4*a.e2+in.e5*a.e425+in.e12*a.e14+in.e13*a.e1234-in.e14*a.e12-in.e15*a.e1245-in.e23*a.e34+in.e24*a.e+in.e25*a.e45+in.e34*a.e23+in.e35*a.e2345-in.e45*a.e25-in.e123*a.e134-in.e214*a.e1+in.e125*a.e145+in.e134*a.e123-in.e315*a.e12345-in.e145*a.e125+in.e324*a.e3-in.e235*a.e345-in.e425*a.e5+in.e345*a.e235-in.e1234*a.e13-in.e1253*a.e3145+in.e1245*a.e15+in.e3145*a.e1253-in.e2345*a.e35+in.e12345*a.e315)+a.e13*(-in.e*a.e34-in.e1*a.e134+in.e2*a.e324+in.e3*a.e4-in.e4*a.e3-in.e5*a.e345-in.e12*a.e1234+in.e13*a.e14-in.e14*a.e13+in.e15*a.e3145+in.e23*a.e24-in.e24*a.e23-in.e25*a.e2345+in.e34*a.e+in.e35*a.e45-in.e45*a.e35-in.e123*a.e214+in.e214*a.e123-in.e125*a.e12345+in.e134*a.e1-in.e315*a.e145+in.e145*a.e315-in.e324*a.e2-in.e235*a.e425+in.e425*a.e235+in.e345*a.e5+in.e1234*a.e12-in.e1253*a.e1245+in.e1245*a.e1253-in.e3145*a.e15+in.e2345*a.e25+in.e12345*a.e125)+a.e14*(in.e*a.e+in.e1*a.e1+in.e2*a.e2+in.e3*a.e3+in.e4*a.e4+in.e5*a.e5+in.e12*a.e12+in.e13*a.e13+in.e14*a.e14+in.e15*a.e15+in.e23*a.e23+in.e24*a.e24+in.e25*a.e25+in.e34*a.e34+in.e35*a.e35+in.e45*a.e45+in.e123*a.e123+in.e214*a.e214+in.e125*a.e125+in.e134*a.e134+in.e315*a.e315+in.e145*a.e145+in.e324*a.e324+in.e235*a.e235+in.e425*a.e425+in.e345*a.e345+in.e1234*a.e1234+in.e1253*a.e1253+in.e1245*a.e1245+in.e3145*a.e3145+in.e2345*a.e2345+in.e12345*a.e12345)-a.e15*(-in.e*a.e45-in.e1*a.e145+in.e2*a.e425-in.e3*a.e345+in.e4*a.e5-in.e5*a.e4-in.e12*a.e1245+in.e13*a.e3145+in.e14*a.e15-in.e15*a.e14-in.e23*a.e2345+in.e24*a.e25-in.e25*a.e24+in.e34*a.e35-in.e35*a.e34+in.e45*a.e-in.e123*a.e12345-in.e214*a.e125+in.e125*a.e214-in.e134*a.e315+in.e315*a.e134+in.e145*a.e1-in.e324*a.e235+in.e235*a.e324-in.e425*a.e2+in.e345*a.e3-in.e1234*a.e1253+in.e1253*a.e1234+in.e1245*a.e12-in.e3145*a.e13+in.e2345*a.e23+in.e12345*a.e123)-a.e23*(in.e*a.e1234+in.e1*a.e324+in.e2*a.e134+in.e3*a.e214+in.e4*a.e123+in.e5*a.e12345-in.e12*a.e34+in.e13*a.e24-in.e14*a.e23-in.e15*a.e2345-in

Maths - 5D Rotations and Translations using multivectors

Prerequisites

Applying a multivector to a point