e1x e2x e3x e4x e5x e1y e2y e3y e4y e5y e1z e2z e3z e4z e5z e1w e2w e3w e4w e5w e1v e2v e3v e4v e5v

=e1x*

e2y e3y e4y e5y e2z e3z e4z e5z e2w e3w e4w e5w e2v e3v e4v e5v

-e2x*

e1y e3y e4y e5y e1z e3z e4z e5z e1w e3w e4w e5w e1v e3v e4v e5v

+e3x*

e1y e2y e4y e5y e1z e2z e4z e5z e1w e2w e4w e5w e1v e2v e4v e5v

-e4x*

e1y e2y e3y e5y e1z e2z e3z e5z e1w e2w e3w e5w e1v e2v e3v e5v

+e5x*

e1y e2y e3y e4y e1z e2z e3z e4z e1w e2w e3w e4w e1v e2v e3v e4v

To choose tri-vectors for 5D multivectors we start with the psudoscalar e1^e2^e3^e4^e5 which represents the whole determinant. We then split it up, taking into account the sign, as above:

e1^e2^e3^e4^e5 = e1 * e2^e3^e4^e5 - e2 * e1^e3^e4^e5 + e3 * e1^e2^e4^e5 - e4 * e1^e2^e3^e5 + e5 * e1^e2^e3^e4

Where the sign is negative then we invert the order, which gives the basis tri-vectors as follows:

• e2^e3^e4^e5 is the minor of e1
• -e1^e3^e4^e5 is the minor of e2
• e1^e2^e4^e5 is the minor of e3
• -e1^e2^e3^e5 is the minor of e4
• e1^e2^e3^e4 is the minor of e5

In order to remove the minus terms from the 2nd and 4th terms we can just swap any two of the terms, but which two do we swap?

how about:

• e2^e3^e4^e5 is the minor of e1
• e3^e1^e4^e5 is the minor of e2
• e1^e2^e4^e5 is the minor of e3
• e1^e2^e5^e3 is the minor of e4
• e1^e2^e3^e4 is the minor of e5

I'm not an expert at suduko, so I cant get one number in each row, but the above seems to have a patern. Can anyone tell me a better way to choose the order?

What are the properties of these under the dual function?

So this is the best I can do to get the order for the quad-vectors.

What about the bivectors and tri-vectors? we can reduce the deteminant in two stages, but how does that correspond to the clifford algebra functions?

I think I will try finding the minors of the above tri-vectors as follows:

The minor of e1	The minor of e2	The minor of e3	The minor of e4	The minor of e5
e2^e3^e4^e5	e1^e3^e4^e5	e1^e2^e4^e5	e1^e2^e3^e5	e1^e2^e3^e4
	Now take the minor of e1: which gives: e3^e4^e5	Now take the minor of e1: which gives: -e2^e4^e5	Now take the minor of e1: which gives: e2^e3^e5	Now take the minor of e1: which gives: -e2^e3^e4
Now take the minor of e2: which gives: e3^e4^e5		Or take the minor of e2: which gives: e1^e4^e5	Or take the minor of e2: which gives: -e1^e3^e5	Or take the minor of e2: which gives: e1^e3^e4
Or take the minor of e3: which gives: -e2^e4^e5	Or take the minor of e3: which gives: e1^e4^e5		Or take the minor of e3: which gives: e1^e2^e5	Or take the minor of e3: which gives: -e1^e2^e4
Or take the minor of e4: which gives: e2^e3^e5	Or take the minor of e4: which gives: -e1^e3^e5	Or take the minor of e4: which gives: e1^e2^e5		Or take the minor of e4: which gives: e1^e2^e3
Or take the minor of e5: which gives: -e2^e3^e4	Or take the minor of e5: which gives: e1^e3^e4	Or take the minor of e4: which gives: -e1^e2^e4	Or take the minor of e5: which gives: e1^e2^e3

so to summarise:

minor of e1 followed by e2 gives:	e1^e2	e3^e4^e5	(e1^e2)(e3^e4^e5)
minor of e1 followed by e3 gives:	e1^e3	-e2^e4^e5	-(e1^e3)(e2^e4^e5)
minor of e1 followed by e4 gives:	e1^e4	e2^e3^e5	(e1^e4)(e2^e3^e5)
minor of e1 followed by e5 gives:	e1^e5	-e2^e3^e4	-(e1^e5)(e2^e3^e4)
minor of e2 followed by e1 gives:	e2^e1	-e3^e4^e5	-(e2^e1)(e3^e4^e5)
minor of e2 followed by e3 gives:	e2^e3	e1^e4^e5	(e2^e3)(e1^e4^e5)
minor of e2 followed by e4 gives:	e2^e4	-e1^e3^e5	-(e2^e4)(e1^e3^e5)
minor of e2 followed by e5 gives:	e2^e5	e1^e3^e4	(e2^e5)(e1^e3^e4)
minor of e3 followed by e1 gives:	e3^e1	e2^e4^e5	(e3^e1)(e2^e4^e5)
minor of e3 followed by e2 gives:	e3^e2	-e1^e4^e5	-(e3^e2)(e1^e4^e5)
minor of e3 followed by e4 gives:	e3^e4	e1^e2^e5	(e3^e4)(e1^e2^e5)
minor of e3 followed by e5 gives:	e3^e5	-e1^e2^e4	-(e3^e5)(e1^e2^e4)
minor of e4 followed by e1 gives:	e4^e1	-e2^e3^e5	-(e4^e1)(e2^e3^e5)
minor of e4 followed by e2 gives:	e4^e2	e1^e3^e5	(e4^e2)(e1^e3^e5)
minor of e4 followed by e3 gives:	e4^e3	-e1^e2^e5	-(e4^e3)(e1^e2^e5)
minor of e4 followed by e5 gives:	e4^e5	e1^e2^e3	(e4^e5)(e1^e2^e3)
minor of e5 followed by e1 gives:	e5^e1	e2^e3^e4	(e5^e1)(e2^e3^e4)
minor of e5 followed by e2 gives:	e5^e2	-e1^e3^e4	-(e5^e2)(e1^e3^e4)
minor of e5 followed by e3 gives:	e5^e3	e1^e2^e4	(e5^e3)(e1^e2^e4)
minor of e5 followed by e4 gives:	e5^e4	-e1^e2^e3	-(e5^e4)(e1^e2^e3)

So the full multivector and its dual is:

Ar	dual(Ar) = Ar* = e12345 Ar
1	e12345
e1	e12345e1= e2345
e2	e12345e2 = e3145
e3	e12345e3 = e1245
e4	e12345e4 = e1253
e5	e12345e5 = e1234
e12	e12345e12= -e345
e13	e12345e13= -e425
e14	e12345e14= -e235
e15	e12345e15= -e324
e23	e12345e23= -e145
e24	e12345e24= -e315
e25	e12345e25= -e134
e34	e12345e34= -e125
e35	e12345e35= -e214
e45	e12345e45=-e123
e123	e12345e123= -e45
e214	e12345e214= -e35
e125	e12345e125= -e34
e134	e12345e134= -e25
e315	e12345e315= -e24
e145	e12345e145= -e23
e324	e12345e324= -e15
e235	e12345e235= -e14
e425	e12345e425= -e13
e345	e12345e345=-e12
e1234	e12345e1234= e5
e1253	e12345e1253= e4
e1245	e12345e1245= e3
e3145	e12345e3145= e2
e2345	e12345e2345= e1
e12345	e12345e12345= 1