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Maths - 3D Rotations and Translations using multivectors

Prerequisites

You may want to review vectors:

Applying a multivector to a point

To calculate the rotated point from the original position of the point.

P2=m * P1 * m-1

 

In some sources I have seen this transform shown as:
A(b) =Ab(A#)-1

where:

a# = Main involution sumi(-1)ia<i&gt;

Such transformations satisfy A(b) |A(c) = b |c and are known as Lorentz transforms, or as isometries of inner product- |
If A is even then A(b) = AbA-1 and we have A(bc)) = A(b)A(c) .
If A is a k-versor then A# = (-1)kA so that A(bc) = (-1)kA(b)A(c).

 

If, m = m.e + m.ex + m.ey +m.ez + m.exy + m.ezx + m.eyz + m.exyz

and

m.e * m.exyz = m.ex *m.eyz + m.ey*m.ezx + m.ez*m.exy

and

1 = m.e2 - m.ex2 - m.ey2 - m.ez2 + m.exy2 + m.ezx2 + m.eyz2 - m.exyz2

then,

P1 * m-1 = (P1.x ,P1.y,P1.z)*( m.e -m.ex -m.ey -m.ez - m.exy - m.ezx - m.eyz + m.exyz)

which gives:

e = - P1.x * m.ex - P1.y * m.ey - P1.z * m.ez
ex = P1.x * m.e - P1.y * m.exy + P1.z * m.ezx
ey = P1.y * m.e + P1.x * m.exy - P1.z * m.eyz
ez = P1.z * m.e - P1.x * m.ezx + P1.y * m.eyz
exy = - P1.y * m.ex + P1.x * m.ey + P1.z * m.exyz
ezx = P1.z * m.ex - P1.x * m.ez + P1.y * m.exyz
eyz = - P1.z * m.ey + P1.y * m.ez + P1.x * m.exyz
exyz = - P1.z * m.exy - P1.y * m.ezx - P1.x * m.eyz

so m * P1 * m-1 gives,

e = m.e * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.ex * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.ey * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.ez * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) - m.exy * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) - m.ezx * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) - m.eyz * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) - m.exyz * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ex = m.ex * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.e * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) - m.exy * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.ezx * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) + m.ey * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) - m.ez * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) - m.exyz * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) - m.eyz * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ey = m.ey * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.exy * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.e * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) - m.eyz * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) - m.ex * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) - m.exyz * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) + m.ez * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) - m.ezx * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ez = m.ez * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) - m.ezx * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.eyz * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.e * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) - m.exyz * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) + m.ex * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) - m.ey * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) - m.exy * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
exy = m.exy * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.ey * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) - m.ex * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.exyz * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) + m.e * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) + m.eyz * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) - m.ezx * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) + m.ez * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ezx = m.ezx * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) - m.ez * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.exyz * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.ex * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) - m.eyz * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) + m.e * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) + m.exy * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) + m.ey * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
eyz = m.eyz * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.exyz * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.ez * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) - m.ey * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) + m.ezx * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) - m.exy * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) + m.e * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) + m.ex * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
exyz = m.exyz * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez) + m.eyz * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx) + m.ezx * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz) + m.exy * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz) + m.ez * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz) + m.ey * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz) + m.ex * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz) + m.e * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)

 

e = m.e * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.ex * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.ey * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.ez * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)- m.exy * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)- m.ezx * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)- m.eyz * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)- m.exyz * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ex = m.ex * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.e * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)- m.exy * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.ezx * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)+ m.ey * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)- m.ez * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)- m.exyz * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)- m.eyz * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ey = m.ey * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.exy * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.e * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)- m.eyz * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)- m.ex * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)- m.exyz * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)+ m.ez * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)- m.ezx * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ez = m.ez * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)- m.ezx * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.eyz * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.e * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)- m.exyz * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)+ m.ex * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)- m.ey * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)- m.exy * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
exy = m.exy * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.ey * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)- m.ex * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.exyz * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)+ m.e * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)+ m.eyz * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)- m.ezx * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)+ m.ez * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
ezx = m.ezx * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)- m.ez * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.exyz * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.ex * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)- m.eyz * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)+ m.e * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)+ m.exy * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)+ m.ey * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
eyz = m.eyz * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.exyz * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.ez * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)- m.ey * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)+ m.ezx * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)- m.exy * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)+ m.e * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)+ m.ex * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)
exyz = m.exyz * (- P1.x * m.ex- P1.y * m.ey- P1.z * m.ez)+ m.eyz * (P1.x * m.e- P1.y * m.exy+ P1.z * m.ezx)+ m.ezx * (P1.y * m.e+ P1.x * m.exy- P1.z * m.eyz)+ m.exy * (P1.z * m.e- P1.x * m.ezx+ P1.y * m.eyz)+ m.ez * (- P1.y * m.ex+ P1.x * m.ey+ P1.z * m.exyz)+ m.ey * (P1.z * m.ex- P1.x * m.ez+ P1.y * m.exyz)+ m.ex * (- P1.z * m.ey+ P1.y * m.ez+ P1.x * m.exyz)+ m.e * (- P1.z * m.exy- P1.y * m.ezx- P1.x * m.eyz)

 

e =

P1.x (-m.e * m.ex + m.e * m.ex + m.ey*m.exy - m.ez*m.ezx - m.exy*m.ey + m.ezx*m.ez - m.eyz* m.exyz+ m.exyz* m.eyz)
P1.y (-m.e* m.ey - m.ex* m.exy+ m.ey* m.e+ m.ez* m.eyz+ m.exy* m.ex- m.ezx* m.exyz- m.eyz* m.ez+ m.exyz* m.ezx)
P1.z (-m.e * m.ez+ m.ex * m.ezx- m.ey * m.eyz+ m.ez * m.e- m.exy * m.exyz- m.ezx * m.ex+ m.eyz * m.ey+ m.exyz *m.exy)
ex =

P1.x (-m.ex* m.ex+ m.e* m.e - m.exy* m.exy - m.ezx* m.ezx + m.ey* m.ey+ m.ez* m.ez- m.exyz * m.exyz+ m.eyz* m.eyz)
P1.y (-m.ex* m.ey- m.e* m.exy - m.exy* m.e + m.ezx* m.eyz - m.ey* m.ex- m.ez* m.exyz- m.exyz * m.ez+ m.eyz* m.ezx)
P1.z (-m.ex* m.ez+ m.e* m.ezx + m.exy* m.eyz + m.ezx* m.e + m.ey* m.exyz- m.ez* m.ex+ m.exyz * m.ey+ m.eyz* m.exy)
ey =

P1.x (-m.ey* m.ex + m.exy* m.e + m.e* m.exy+ m.eyz* m.ezx - m.ex* m.ey+ m.exyz* m.ez+ m.ez* m.exyz + m.ezx* m.eyz)
P1.y (-m.ey* m.ey - m.exy* m.exy + m.e* m.e- m.eyz* m.eyz + m.ex* m.ex- m.exyz* m.exyz+ m.ez* m.ez + m.ezx* m.ezx)
P1.z (-m.ey* m.ez + m.exy * m.ezx - m.e* m.eyz- m.eyz* m.e - m.ex* m.exyz- m.exyz* m.ex- m.ez* m.ey + m.ezx* m.exy)
ez =

P1.x (-m.ez* m.ex- m.ezx* m.e + m.eyz* m.exy - m.e* m.ezx- m.exyz* m.ey- m.ex* m.ez- m.ey* m.exyz+ m.exy* m.eyz)
P1.y (-m.ez* m.ey+ m.ezx* m.exy + m.eyz* m.e + m.e* m.eyz+ m.exyz* m.ex+ m.ex* m.exyz- m.ey* m.ez+ m.exy* m.ezx)
P1.z (-m.ez* m.ez- m.ezx* m.ezx - m.eyz* m.eyz + m.e* m.e- m.exyz* m.exyz+ m.ex* m.ex+ m.ey* m.ey+ m.exy* m.exy)
exy =

P1.x (-m.exy* m.ex + m.ey* m.e- m.ex* m.exy- m.exyz* m.ezx+ m.e* m.ey- m.eyz* m.ez- m.ezx* m.exyz - m.ez* m.eyz)
P1.y (-m.exy* m.ey - m.ey* m.exy- m.ex* m.e+ m.exyz* m.eyz- m.e* m.ex+ m.eyz* m.exyz- m.ezx* m.ez - m.ez* m.ezx)
P1.z (-m.exy* m.ez + m.ey* m.ezx+ m.ex* m.eyz+ m.exyz* m.e+ m.e* m.exyz+ m.eyz* m.ex+ m.ezx* m.ey - m.ez* m.exy)
ezx =

P1.x (-m.ezx* m.ex- m.ez* m.e+ m.exyz* m.exy- m.ex* m.ezx- m.eyz* m.ey- m.e* m.ez + m.exy* m.exyz- m.ey* m.eyz)
P1.y (-m.ezx* m.ey+ m.ez* m.exy+ m.exyz* m.e+ m.ex* m.eyz+ m.eyz* m.ex+ m.e* m.exyz + m.exy* m.ez- m.ey* m.ezx)
P1.z (-m.ezx* m.ez- m.ez* m.ezx- m.exyz* m.eyz+ m.ex* m.e- m.eyz* m.exyz+ m.e* m.ex - m.exy* m.ey- m.ey* m.exy)
eyz =

P1.x (-m.eyz* m.ex+ m.exyz* m.e+ m.ez * m.exy+ m.ey* m.ezx+ m.ezx* m.ey+ m.exy* m.ez + m.e* m.exyz - m.ex* m.eyz)
P1.y (-m.eyz* m.ey- m.exyz* m.exy+ m.ez* m.e- m.ey* m.eyz- m.ezx* m.ex- m.exy* m.exyz + m.e* m.ez - m.ex* m.ezx)
P1.z (-m.eyz* m.ez+ m.exyz* m.ezx- m.ez* m.eyz- m.ey* m.e+ m.ezx* m.exyz- m.exy* m.ex - m.e* m.ey - m.ex* m.exy)
exyz =

P1.x (-m.exyz* m.ex+ m.eyz* m.e+ m.ezx* m.exy- m.exy* m.ezx+ m.ez* m.ey- m.ey* m.ez+ m.ex* m.exyz- m.e* m.eyz)
P1.y (-m.exyz* m.ey- m.eyz* m.exy+ m.ezx* m.e+ m.exy* m.eyz- m.ez * m.ex+ m.ey* m.exyz+ m.ex* m.ez- m.e* m.ezx)
P1.z (-m.exyz* m.ez+ m.eyz* m.ezx- m.ezx* m.eyz+ m.exy* m.e+ m.ez* m.exyz+ m.ey* m.ex- m.ex* m.ey- m.e* m.exy)

cancel out any equal and opposite terms:

e =

0
ex =

P1.x (-m.ex* m.ex+ m.e* m.e - m.exy* m.exy - m.ezx* m.ezx + m.ey* m.ey+ m.ez* m.ez- m.exyz * m.exyz+ m.eyz* m.eyz)
P1.y (-2*m.ex* m.ey - 2*m.e* m.exy + 2*m.ezx* m.eyz - 2*m.ez* m.exyz)
P1.z (-2*m.ex* m.ez + 2*m.e* m.ezx + 2*m.exy* m.eyz + 2*m.ey* m.exyz)
ey = P1.x (-2*m.ey* m.ex +2* m.exy* m.e + 2*m.eyz* m.ezx + 2*m.exyz* m.ez)
P1.y (-m.ey* m.ey - m.exy* m.exy + m.e* m.e- m.eyz* m.eyz + m.ex* m.ex- m.exyz* m.exyz+ m.ez* m.ez + m.ezx* m.ezx)
P1.z (-2*m.ey* m.ez + 2*m.exy * m.ezx - 2*m.e* m.eyz - 2*m.ex* m.exyz)
ez = P1.x (-2*m.ez* m.ex- 2*m.ezx* m.e + 2*m.eyz* m.exy - 2*m.exyz* m.ey)
P1.y (-2*m.ez* m.ey+ 2*m.ezx* m.exy + 2*m.eyz* m.e + 2*m.exyz* m.ex)
P1.z (-m.ez* m.ez- m.ezx* m.ezx - m.eyz* m.eyz + m.e* m.e- m.exyz* m.exyz+ m.ex* m.ex+ m.ey* m.ey+ m.exy* m.exy)
exy = P1.x (-2*m.exy* m.ex + 2*m.ey* m.e- 2*m.exyz* m.ezx- 2*m.eyz* m.ez)
P1.y (-2*m.exy* m.ey - 2*m.ex* m.e+ 2*m.exyz* m.eyz- 2*m.ezx* m.ez)
P1.z (-2*m.exy* m.ez + 2*m.ey* m.ezx+ 2*m.ex* m.eyz+ 2*m.exyz* m.e)
ezx = P1.x (-2*m.ezx* m.ex- 2*m.ez* m.e+ 2*m.exyz* m.exy- 2*m.eyz* m.ey)
P1.y (-2*m.ezx* m.ey+ 2*m.ez* m.exy+ 2*m.exyz* m.e+ 2*m.ex* m.eyz)
P1.z (-2*m.ezx* m.ez- 2*m.exyz* m.eyz+ 2*m.ex* m.e - 2*m.exy* m.ey)
eyz = P1.x (-2*m.eyz* m.ex+2* m.exyz* m.e+ 2*m.ez * m.exy+ 2*m.ey* m.ezx)
P1.y (-2*m.eyz* m.ey- 2*m.exyz* m.exy+ 2*m.ez* m.e- 2*m.ezx* m.ex)
P1.z (-2*m.eyz* m.ez+ 2*m.exyz* m.ezx- 2*m.ey* m.e- 2*m.exy* m.ex)
exyz = 0

putting this in rows and columns gives:

  P1.x P1.y P1.z
ex -m.ex2+ m.e2 - m.exy2 - m.ezx2 + m.ey2+ m.ez2- m.exyz2+ m.eyz2 -2*m.ex* m.ey - 2*m.e* m.exy + 2*m.ezx* m.eyz - 2*m.ez* m.exyz -2*m.ex* m.ez + 2*m.e* m.ezx + 2*m.exy* m.eyz + 2*m.ey* m.exyz
ey -2*m.ey* m.ex +2* m.exy* m.e + 2*m.eyz* m.ezx + 2*m.exyz* m.ez -m.ey2 - m.exy2 + m.e2- m.eyz2 + m.ex2- m.exyz2 + m.ez2 + m.ezx2 -2*m.ey* m.ez + 2*m.exy * m.ezx - 2*m.e* m.eyz - 2*m.ex* m.exyz
ez -2*m.ez* m.ex- 2*m.ezx* m.e + 2*m.eyz* m.exy - 2*m.exyz* m.ey -2*m.ez* m.ey+ 2*m.ezx* m.exy + 2*m.eyz* m.e + 2*m.exyz* m.ex -m.ez2- m.ezx2 - m.eyz2 + m.e2- m.exyz2+ m.ex2+ m.ey2+ m.exy2
exy -2*m.exy* m.ex + 2*m.ey* m.e- 2*m.exyz* m.ezx- 2*m.eyz* m.ez -2*m.exy* m.ey - 2*m.ex* m.e+ 2*m.exyz* m.eyz- 2*m.ezx* m.ez -2*m.exy* m.ez + 2*m.ey* m.ezx+ 2*m.ex* m.eyz+ 2*m.exyz* m.e
ezx -2*m.ezx* m.ex- 2*m.ez* m.e+ 2*m.exyz* m.exy- 2*m.eyz* m.ey -2*m.ezx* m.ey+ 2*m.ez* m.exy+ 2*m.exyz* m.e+ 2*m.ex* m.eyz -2*m.ezx* m.ez- 2*m.exyz* m.eyz+ 2*m.ex* m.e - 2*m.exy* m.ey
eyz -2*m.eyz* m.ex+2* m.exyz* m.e+ 2*m.ez * m.exy+ 2*m.ey* m.ezx -2*m.eyz* m.ey- 2*m.exyz* m.exy+ 2*m.ez* m.e- 2*m.ezx* m.ex -2*m.eyz* m.ez+ 2*m.exyz* m.ezx- 2*m.ey* m.e- 2*m.exy* m.ex

The values in red correspond to the quaternion equivalents below:

The equivilant equation for rotating a point using a quaternion is:

sfvec3d transform(sfvec3d p1){
	sfvec3d p2 = new sfvec3f();
	p2.x = w*w*p1.x + 2*y*w*p1.z - 2*z*w*p1.y + x*x*p1.x + 2*y*x*p1.y + 2*z*x*p1.z - z*z*p1.x - y*y*p1.x;
	p2.y = 2*x*y*p1.x + y*y*p1.y + 2*z*y*p1.z + 2*w*z*p1.x - z*z*p1.y + w*w*p1.y - 2*x*w*p1.z - x*x*p1.y;
	p2.z = 2*x*z*p1.x + 2*y*z*p1.y + z*z*p1.z - 2*w*y*p1.x - y*y*p1.z + 2*w*x*p1.y - x*x*p1.z + w*w*p1.z;
	return p2;
}

putting this in rows and columns gives:

  P1.x P1.y P1.z
x w*w+ x*x- z*z - y*y + 2*y*x - 2*z*w 2*y*w+ 2*z*x
y 2*x*y+ 2*w*z y*y- z*z+ w*w- x*x 2*z*y- 2*x*w
z 2*x*z- 2*w*y 2*y*z+ 2*w*x z*z- y*y- x*x+ w*w


Rotation

rotation

Use of multivector to represent pure rotation.

axis

A multivector can be used to represent a rotation in 3 dimensions. If we are rotating through t radians about a unit vector (x1,y1,z1) then the rotation can be represented by multiplying by the following multivector:

multivector = cos(t/2) + σ1 outer product σ2 ( x1 * sin(t/2)) + σ3 outer product σ1 (y1 * sin(t/2)) + σ2 outer product σ3 ( z1 * sin(t/2))

 

Example 1

As an example of using quaternions for 3D rotations, what is the quaternion to represent a 90 degree (PI/2 radian) rotation about the z axis:

example 1

q = cos(t/2) + σ1 outer product σ2 ( x1 * sin(t/2)) + σ3 outer product σ1 (y1 * sin(t/2)) + σ2 outer product σ3 ( z1 * sin(t/2))

= 0.7071 + σ1 outer product σ2 * 0 + σ3 outer product σ1 * 0 + σ2 outer product σ3 * 0.7071

So how can we use this to show that point [1,0,0] will be rotated to [0,1,0]

let us represent the point [1,0,0] by the quaternion 0 + σ1 outer product σ2 1 + σ3 outer product σ1 0 + σ2 outer product σ3 0

Then apply the quaternion q as follows:

P2=m * P1 * m-1

=(0.7071 + k 0.7071)*( σ1 outer product σ2 1)*(0.7071 - σ2 outer product σ3 0.7071)

multiplying out the first two quaternions first gives,

=(σ1 outer product σ2 0.7071 + (σ2 outer product σ3*σ1 outer product σ2)0.7071)*(0.7071 - σ2 outer product σ3 0.7071)

=(σ1 outer product σ2 0.7071 + σ3 outer product σ1 0.7071)*(0.7071 - σ2 outer product σ3 0.7071)

then multiply the remaining quaternions,

=σ1 outer product σ2 * 0.5 + σ3 outer product σ1 0.5 + σ3 outer product σ1 0.5 - σ1 outer product σ2 * 0.5

=σ3 outer product σ1

which converts to the point [0,1,0] as required.

 

Interpolating Rotations

Quaternions can be used to interpolate points when an object is rotating.

Example 2

Let us take the 90 degree rotation in example 1 and calculate two interpolated points.

example 2

Since the angles are simple we can calculate the result from q = cos(t/2) + σ1 outer product σ2 ( x1 * sin(t/2)) + σ3 outer product σ1 (y1 * sin(t/2)) + σ2 outer product σ3 ( z1 * sin(t/2))

So the quaternions represented the two interpolated points are:

q1 = 0.966 + σ1 outer product σ2 0 + σ3 outer product σ1 0 + σ2 outer product σ3 0.259

q2 = 0.866 + σ1 outer product σ2 0 + σ3 outer product σ1 0 + σ2 outer product σ3 0.5
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