Maths - clifford / Geometric Algebra - Cayley Table

Cayley Table for Geometric Algebra

To multiply two multivectors (a * b) then we multiply each part of a by each part of b, so that we have multiplied every combination of terms. When multiplying terms the result will be of type given by the following table:

The entries in the table only shows the type and sign change of the product, it does not show its absolute value. We therefore need to prefix the product by its numerical value which is the real number which is the product of the numbers at the top and left headings.

a*b
b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e12 b.e31 b.e23 b.e123
a.e 1 e1 e2 e3 e12 e31 e23 e123
a.e1 e1 1 e12 -e31 e2 -e3 e123 e23
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e1 e123 e3 e31
a.e3 e3 e31 -e23 1 e123 e1 -e2 e12
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -1 e23 -e31 -e3
a.e31 e31 e3 e123 -e1 -e23 -1 e12 -e2
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e31 -e12 -1 -e1
a.e123 e123 e23 e31 e12 -e3 -e2 -e1 -1

This table fully defines how multiplication works, we don't have to bother with all the stuff about ^ that we previously discussed to derive the table if we don't want to. We can just work from these tables when using multivector geometric multiplication.

Below are the tables for various grades of multivector

Geometric Multiplication for 2D multivectors.

a*b
b.e b.e1 b.e2 b.e12
a.e 1 e1 e2 e12
a.e1 e1 1 e12 e2
a.e2 e2 -e12 1 -e1
a.e12 e12 -e2 e1 -1

Geometric Multiplication for 3D multivectors.

a*b
b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e12 b.e31 b.e23 b.e123
a.e 1 e1 e2 e3 e12 e31 e23 e123
a.e1 e1 1 e12 -e31 e2 -e3 e123 e23
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e1 e123 e3 e31
a.e3 e3 e31 -e23 1 e123 e1 -e2 e12
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -1 e23 -e31 -e3
a.e31 e31 e3 e123 -e1 -e23 -1 e12 -e2
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e31 -e12 -1 -e1
a.e123 e123 e23 e31 e12 -e3 -e2 -e1 -1

Geometric Multiplication for 4D multivectors.

a*b
b.e b.e1 b.e2 b.e3 b.e4 b.e12 b.e31 b.e23 b.e14 b.e42 b.e34 b.e123 b.e214 b.e143 b.e234 b.e1234
a.e 1 e1 e2 e3 e4 e12 e31 e23 e14 e42 e34 e123 e214 e143 e234 e1234
a.e1 e1 1 e12 -e31 e14 e2 -e3 e123 e4 e214 -e143 e23 e42 -e34 e1234 e234
a.e2 e2 -e12 1 e23 -e42 -e1 e123 e3 e214 -e4 e234 e31 e14 e1234 e34 e143
a.e3 e3 e31 -e23 1 e34 e123 e1 -e2 e143 e234 e4 e12 -e1234 e14 e42 -e214
a.e4 e4 -e14 e42 -e34 1 -e214 e143 e234 -e1 e2 -e3 -e1234 -e12 e31 -e23 -e123
a.e12 e12 -e2 e1 e123 -e214 -1 e23 -e31 e42 -e14 e1234 -e3 e4 e234 -e143 -e34
a.e31 e31 e3 e123 -e1 e143 -e23 -1 e12 e34 -e1234 -e14 -e2 e234 -e4 -e214 e42
a.e23 e23 e123 -e3 e2 e234 e31 -e12 -1 e1234 e34 -e42 -e1 -e143 e214 -e4 -e14
a.e14 e14 -e4 e214 e143 e1 -e42 -e34 e1234 -1 e12 e31 -e234 -e2 -e3 e123 -e23
a.e42 e42 e214 e4 e234 -e2 e14 -e1234 -e34 -e12 -1 e23 e143 -e1 -e123 -e3 -e31
a.e34 e34 -e143 e234 -e4 e3 e1234 e14 e42 -e31 -e23 -1 e214 -e123 -e1 -e2 -e12
a.e123 e123 e23 e31 e12 e1234 -e3 -e2 -e1 e234 -e143 -e214 -1 -e34 -e42 -e14 -e4
a.e214 e214 e42 e14 e1234 -e12 -e4 e234 e143 -e2 -e1 e123 e34 -1 -e23 e31 -e3
a.e143 e143 -e34 -e1234 e14 e31 -e234 -e4 -e214 -e3 e123 e1 e2 e23 -1 -e12 -e2
a.e234 e234 -e1234 e34 e42 e23 e143 e214 -e4 -e123 -e3 -e2 e14 -e31 e12 -1 e1
a.e1234 e1234 -e234 e143
e214 e123 -e34 e42

-e14

-e23 e31 -e12 e4 -e3 e2 -e1 1

metadata block
see also:
Correspondence about this page

Book Shop - Further reading.

Where I can, I have put links to Amazon for books that are relevant to the subject, click on the appropriate country flag to get more details of the book or to buy it from them.

flag flag flag flag flag flag New Foundations for Classical Mechanics (Fundamental Theories of Physics). This is very good on the geometric interpretation of this algebra. It has lots of insights into the mechanics of solid bodies. I still cant work out if the position, velocity, etc. of solid bodies can be represented by a 3D multivector or if 4 or 5D multivectors are required to represent translation and rotation.

 

flag flag flag flag flag flag Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics (Fundamental Theories of Physics). This book is intended for mathematicians and physicists rather than programmers, it is very theoretical. It covers the algebra and calculus of multivectors of any dimension and is not specific to 3D modelling.

 

Terminology and Notation

Specific to this page here:

 

This site may have errors. Don't use for critical systems.

Copyright (c) 1998-2017 Martin John Baker - All rights reserved - privacy policy.